Bir Topu Kesip İki Aynı Top Yapmak

Bölüm metni

Elinizde bir portakal var. Onu beş parçaya bölüyorsunuz; hiçbir parçayı germiyor, ezmiyor, çoğaltmıyorsunuz — sadece döndürüp yerlerini değiştiriyorsunuz. Sonunda masada birbirinin tam eşi iki portakal duruyor. Bu bir hile değil, 1924'te kanıtlanmış bir teorem.

Masanın üstünde bir portakal duruyor. Ağırlığı avucunuzda, kabuğunun gözenekleri parmak ucunuzda. Kokusu bile var. Şimdi size şunu söylesem: Bu portakalı 5 parçaya ayırabilirim. Parçaları esnetmeden, germeden, hiçbirini büyütmeden, hiçbirine yeni madde eklemeden, yalnızca havada döndürüp kaydırarak yeniden bir araya getireceğim. Ve iş bittiğinde masada iki portakal olacak. İkisi de tam olarak baştakinin büyüklüğünde. İkisi de içi dolu, gözeneksiz, eksiksiz.

Bunu duyan herkesin ilk tepkisi aynıdır: Bir yerde hile var. Ya parçalar esniyordur, ya aralarına görünmez boşluklar giriyordur, ya da konuşan kişi cebinde ikinci bir portakal saklıyordur. Çünkü bu iddia, hayatınız boyunca öğrendiğiniz en temel şeylerden birine çarpıyor. Bir şeyi kesip tekrar birleştirdiğinizde, elinizde başladığınız kadar şey kalır. Pastayı sekiz dilime bölseniz de pasta pasta kadardır. Hacim korunur. Bu bir inanç değil, bir gözlem; ve o gözlem şimdiye kadar bir kez bile sizi yanıltmadı.

Ama az önce anlattığım şey bir hokkabazlık numarası değil. Bir teorem. 1924 yılında iki Polonyalı matematikçi, Stefan Banach ve Alfred Tarski, ortak bir makalede bunu kanıtladılar. Matematik dünyasında bu sonuç onların adıyla anılıyor: Banach-Tarski paradoksu. Buradaki "paradoks" sözcüğüne dikkat edin, çünkü yanlış anlaşılmaya çok müsait. Matematikte paradoks, "sistemde bir çelişki var" demek değildir. "Sonuç doğru, ama sezginiz buna dayanamıyor" demektir. Ve bu ikisi arasındaki fark, anlatacağım her şeyin kalbinde duruyor.

Önce oyunun kurallarını netleştirelim, çünkü kurallar netleşmeden iddia ya sihir gibi ya da saçmalık gibi duruyor. Matematikçi için bir top, kâğıttan ya da portakaldan yapılmış bir nesne değil. Bir nokta kümesi. Merkezden uzaklığı belli bir sayıdan küçük olan bütün noktaların toplamı. İçi dolu bir küre. Sonsuz sayıda nokta içeriyor; öyle çok ki, bu sonsuzluğu saymaya kalkmanın bile bir anlamı yok.

"Parçalara ayırmak" da o zaman şu demek: Bu nokta kümesini, birbiriyle hiç kesişmeyen alt kümelere bölüyorsunuz. Her nokta tam olarak bir parçaya gidiyor, hiçbiri iki parçada birden bulunmuyor, hiçbiri dışarıda kalmıyor. Bir bıçak hayal etmeyin; daha çok topun içindeki her noktayı tek tek elinize alıp beş ayrı kutudan birine yerleştirdiğinizi düşünün.

"Hareket ettirmek" ise en sıkı kural. İzin verilen tek şey katı hareket: öteleme ve döndürme. Parçayı bir bütün olarak alıp başka bir yere taşıyorsunuz, ya da bir eksen etrafında çeviriyorsunuz. Germek yok, büzmek yok, ölçeklendirmek yok, aynalamak bile gereksiz. Parçanın içindeki iki nokta arasındaki mesafe, hareketten sonra da tıpatıp aynı kalıyor. Bu, bir fincanı masanın bir ucundan öbür ucuna kaydırmaktan daha fazlası değil.

İşte teorem bunu söylüyor: İçi dolu bir küreyi sonlu sayıda parçaya bölüp, yalnızca bu iki tür hareketle, ilkinin tıpatıp eşi olan iki küre elde edebilirsiniz. Ve "sonlu sayıda" derken gerçekten küçük sayılardan söz ediyoruz. 1947'de Raphael Robinson bu işin 5 parçayla yapılabileceğini gösterdi. Dahası, 5'in altına inilemeyeceğini de kanıtladı. Merkezdeki tek bir noktayı hesaba katmazsanız 4 parça yetiyor. Yani bu, milyonlarca parçaya ihtiyaç duyan, sonsuza kaçan bir hile değil. Bir elin parmakları kadar parça.

Şimdi rahatsız edici soruyu soralım. Eğer parçalar esnemiyorsa, her parçanın hacmi hareketten sonra da aynı kalmalı. Beş parçanın hacimleri toplanınca bir topun hacmini vermeli. Ama aynı beş parça, yer değiştirdikten sonra iki topun hacmini veriyor. Bir sayı hem kendisine hem de kendisinin iki katına eşit olamaz. Burada bir yerde bir şey yanlış.

Ve o yanlış olan şey, tahmin ettiğiniz yerde değil. Hareketler kusursuz. Parçaların sayısı sonlu. Küre gerçekten küre. Çöken varsayım, cümleyi kurarken hiç fark etmeden kullandığımız o küçük kelimede saklı: "hacim". O beş parçanın hacmi yok. Sıfır değil, çok küçük değil, ölçülemeyecek kadar karmaşık değil. Hacim diye bir sayı onlara hiç atanamıyor. Toplayacak bir şey olmadığı için toplamda bir tutarsızlık da çıkmıyor.

Hacmi olmayan bir cisim fikri ilk duyuşta kelime oyunu gibi geliyor. Ama bu, matematiğin 20. yüzyıl başında tökezleyerek keşfettiği çok somut bir engel.

Hikâye bir hırsla başlıyor. 19. yüzyılın sonunda matematikçiler uzunluğu, alanı ve hacmi sağlam bir temele oturtmak istediler. Amaç iddialıydı: uzayın her alt kümesine bir hacim sayısı atayan bir kural bulmak. Bu kural üç makul şeyi sağlamalıydı. Küpün hacmi bildiğimiz gibi çıkmalı. Bir cismi hareket ettirince hacmi değişmemeli. Ve iki ayrık parçanın hacimleri, birleşimlerinin hacmini vermeli. Henri Lebesgue'in geliştirdiği ölçü kuramı bunu inanılmaz bir başarıyla yaptı; bugün integral hesabının, olasılık kuramının, fiziğin yarısının altında o kuram var.

Ama 1905'te Giuseppe Vitali, bu hırsın sınırını gösterdi. Sayı doğrusu üzerinde öyle bir küme kurdu ki, o kümeye herhangi bir uzunluk atamak doğrudan çelişkiye yol açıyordu. Sıfır deseniz olmuyordu, pozitif bir sayı deseniz de olmuyordu. Küme, uzunluk kavramının kapsama alanının dışındaydı. Böyle kümelere ölçülemez kümeler dendi. Ve o günden sonra matematikçiler şunu kabul etmek zorunda kaldılar: Hacim, her şey için tanımlı bir özellik değil. Yalnızca "yeterince uslu" kümeler için tanımlı.

Peki Vitali böyle bir canavarı nasıl kurdu? İşte bütün hikâyenin döndüğü nokta burası.

Sonsuz sayıda kutu düşünün. Her kutunun içinde en az bir top var. Sizden her kutudan birer top seçip yeni bir torbaya koymanız isteniyor. Kulağa masum geliyor. Kutular sonlu sayıdaysa hiçbir sorun yok, teker teker gidip alırsınız. Kutular sonsuz ama seçimi yapmak için bir kuralınız varsa, yine sorun yok; mesela "her kutudaki en küçük topu al" diyebilirsiniz, kural sizin yerinize bütün seçimleri aynı anda yapar.

Ama ya kutular sonsuzsa ve hiçbir kural işlemiyorsa? Ya kutuların içindekiler öyle bir düzendeyse ki, "en küçüğü", "en soldakini", "ilkini" demenin hiçbir anlamı yoksa? O zaman bu torbanın var olduğunu iddia edebilmek için, matematiğe ayrı bir varsayım olarak eklemeniz gerekiyor. Bu varsayımın adı Seçim Aksiyomu. Ernst Zermelo 1904'te açıkça formüle etti ve o yayımlandığı andan itibaren tartışma yarattı, çünkü var olduğunu söylediği nesneyi asla size gösteremiyor. Size torbayı tarif etmiyor. Sadece "öyle bir torba vardır" diyor ve susuyor.

Vitali'nin ölçülemez kümesi, tam olarak böyle bir torba. Banach ve Tarski'nin beş parçası da öyle.

Şimdi kürenin içinde ne olup bittiğine bakalım, çünkü mekanizmanın kendisi ölçülemezlikten bile şaşırtıcı. Anahtar, küreyi döndüren hareketlerde saklı. İki tane döndürme seçin, eksenleri farklı olsun ve açıları özenle ayarlansın. Bu iki döndürmeyi ve bunların terslerini arka arkaya uygulayarak sonsuz sayıda farklı hareket üretebilirsiniz. Kritik özellik şu: Bu hareket dizilerinden hiçbiri, birbirini sadeleştirmedikçe, küreyi başladığı yere geri getirmiyor. Her farklı dizi, gerçekten farklı bir sonuç veriyor. Felix Hausdorff 1914'te bu yapıyı fark etti ve küre yüzeyinde ilk paradoksal parçalamayı kurdu; Banach ve Tarski on yıl sonra onun açtığı yoldan içi dolu topa geçtiler.

Bu hareketler ailesinin kendisi, sayılabilir bir sonsuzlukta ve hiyerarşik bir ağaç gibi dallanıyor. Şimdi bütün bu dizileri, ilk harflerine göre dört gruba ayırın: birinci döndürmeyle başlayanlar, onun tersiyle başlayanlar, ikinci döndürmeyle başlayanlar, onun tersiyle başlayanlar. İşin sihri şurada. "Birinci döndürmenin tersiyle başlayanlar" grubunu alıp hepsine birinci döndürmeyi uygularsanız, baştaki o ters hareket sadeleşip düşer. Geriye kalan yığın, birinci döndürmeyle başlamayan her şeyi kapsar. Yani bir tek grubu döndürerek, ağacın büyük bir bölümünü tek başına yeniden inşa etmiş olursunuz. Elinizdeki dört gruptan ikisi bütünü veriyor, diğer ikisi de bütünü veriyor. Bir, iki oluyor.

Bu, sonsuzluğun bildiğimiz tuhaflığı. Ama Banach ve Tarski'nin yaptığı, bu tuhaflığı soyut hareketler dünyasından alıp katı bir cismin noktalarına aktarmak oldu. Küredeki her noktayı, ona uygulanabilecek hareket diziler ailesiyle eşleştirdiler. Sonra da her aileden tek bir temsilci nokta seçtiler. Sayısız aileden, hiçbir kural olmadan, sonsuz sayıda seçim. İşte torba burada devreye giriyor.

Ve bu yüzden o beş parçayı asla göremezsiniz. Onlar dilim değil. Katı kabuk, kama ya da küp değil. Kürenin her yerine sonsuz incelikte serpilmiş, hiçbir yerinde kesintisiz bir yüzeyi olmayan, adeta toz bulutu gibi noktalar kümesi. Öyle dağınık ki, "bu parça ne kadar yer kaplıyor" sorusunun cevabı yok. Hacim korunmuyor değil; korunacak bir hacim hiç var olmadı.

Böyle bir sonuçla karşılaşınca akla gelen ilk soru şu oluyor: Madem bütün bela o aksiyomdan çıkıyor, atalım gitsin.

Bu ciddi bir öneri ve ciddiye alındı. 1970'te Robert Solovay, Seçim Aksiyomu'nun tam gücünden vazgeçilen bir matematik evreni kurdu. O evrende sayı doğrusunun her alt kümesi ölçülebilir. Vitali'nin canavarı yok. Banach-Tarski parçalanması yok. Her şey uslu.

Ama bedeli var, hem de ağır bir bedel. Seçim Aksiyomu matematiğin garip bir köşesinde duran süs değil; gövdeye kaynamış bir parça. Onu çıkardığınızda her vektör uzayının bir tabanı olduğunu söyleyemezsiniz. Fonksiyonel analizin temel taşlarından biri olan Hahn-Banach teoremi sarsılır. Topolojide, cebirde, analizde günlük olarak kullanılan onlarca sonuç ya çöker ya da çok daha zayıf biçimlere çekilir. Solovay'ın kurduğu evrende çalışmak mümkün, ama orada matematiğin büyük bir bölümünü yeniden, çok daha zahmetli yollardan inşa etmeniz gerekiyor. Matematikçilerin ezici çoğunluğu bu takası yapmayı tercih etmedi. Sezgiye aykırı bir teoremle yaşamayı, işleyen aletlerin yarısını bırakmaya yeğlediler.

Bu arada, paradoksun neden bu kadar seçici olduğu da başlı başına ilginç. Banach-Tarski en az üç boyutta çalışıyor. Sayı doğrusunda ve düzlemde çalışmıyor. Bir kareyi kesip iki aynı kare yapamazsınız, bir çemberi ikiye çoğaltamazsınız. Sebebi boyutun kendisinde değil, o boyuttaki hareketlerin yapısında. Düzlemde döndürmeler ve ötelemeler birbiriyle fazla uyumlu davranıyor; az önce anlattığım o özgürce dallanan hareket ağacını kuramıyorsunuz. John von Neumann 1929'da bu farkı tam olarak neyin yarattığını çözümledi ve grupların bu özelliğine bir isim verdi. Üçüncü boyutta ise dönme eksenleri çoğalıyor, hareketler birbirinden kurtuluyor ve ağaç açılıyor. Paradoksun kapısı tam orada aralanıyor.

Buna rağmen düzlem tamamen masum da değil. Tarski 1925'te bir soru sordu: Bir daireyi sonlu sayıda parçaya kesip, parçaları yalnızca kaydırarak, aynı alana sahip bir kare yapabilir misiniz? Bu, hacim yaratmayı değil, şekli dönüştürmeyi soruyor; alan korunuyor. Soru 65 yıl açık kaldı. 1990'da Miklós Laczkovich cevabın evet olduğunu kanıtladı. Parça sayısı yaklaşık 10 üzeri 50 civarındaydı ve kanıt yine Seçim Aksiyomu'na dayanıyordu, yani parçalar yine görünmezdi. Sonra 2017'de Andrew Marks ve Spencer Unger çok daha ileri gitti: Aynı dönüşümü, tarif edilebilir, inşa edilebilir parçalarla yapmanın mümkün olduğunu gösterdiler. Bu kez parça sayısı 10 üzeri 200'e çıktı, ama karşılığında parçalar artık soyut bir torbadan çıkmıyordu. Hayal edilebilir nesnelerdi.

Masadaki portakala dönelim. Onu güvenle soyabilirsiniz. Banach-Tarski portakalınızı çoğaltamaz, hiçbir zaman da çoğaltamayacak. Çünkü gerçek portakal sonsuz sayıda noktadan oluşmuyor. Sonlu sayıda atomdan oluşuyor. Bir kilo portakalın içinde çok büyük ama sonlu bir sayıda parçacık var ve sonlu bir nesneyi sonlu parçalara bölüp iki katına çıkaramazsınız. Teoremi ayakta tutan şey maddenin değil, sürekliliğin özelliği. Uzayın her noktasında bir nokta daha, onun da içinde sonsuz yoğunlukta noktalar olduğu varsayımı. O varsayım fiziksel evrenin değil, matematiksel modelin özelliği.

Ve asıl miras da burada. Banach-Tarski, bir hesap hilesi ya da eğlencelik bir tuhaflık değil. Bir sınır işareti. Matematiğin, gerçekliği tarif etmek için kurduğu araçların nerede kendi başına buyruk hale geldiğini gösteriyor. Sürekli uzay kavramı, fiziksel dünyayı olağanüstü başarıyla modelliyor; köprüler onunla ayakta duruyor, uydular onunla yörüngede kalıyor. Ama o modelin içinde, hiçbir fiziksel karşılığı olmayan nesneler de barınabiliyor. Model, tarif ettiği şeyden daha geniş.

Bir portakalı kesip iki portakal yapamazsınız. Ama matematiğin portakal dediği şeyi kesip iki tane yapabilirsiniz. Bu cümledeki fark, bütün bir yüzyılın ölçü kuramını, küme kuramını ve bugün olasılıktan kuantum mekaniğine kadar uzanan hesap araçlarını şekillendirdi. Sezgimizin çuvalladığı yer, matematiğin en verimli topraklarından biri çıktı.

Nöron Bilim'de bugünkü bölümün sonuna geldik. Yeni bir hikâyede yeniden buluşmak üzere.