Yasak Simetri: Var Olamaması Gereken Kristal

Bölüm metni

Bir sabah laboratuvarda mikroskoptan bakan adam gördüğü şeye inanamadı ve not defterine üç soru işareti çizdi: karşısındaki desen, kristalografinin yüz yıldır imkânsız dediği simetriyi gösteriyordu. Bulgusunu anlattığında grubundan atıldı, iki Nobel ödüllü kimyager onu herkesin önünde "yarı-bilim adamı" ilan etti. Yirmi dokuz yıl sonra aynı bulgu ona Nobel'i kazandırdı — çünkü yanlış olan ölçüm değil, tanımdı.

Elinizde tek bir kalıp var ve bir zemini o kalıpla kaplamanız gerekiyor. Boşluk kalmayacak, parçalar üst üste binmeyecek. Eşkenar üçgenle yaparsınız: bir köşede altı tanesi buluşur, çünkü 60 derecenin altı katı tam 360 eder. Kareyle yaparsınız: dördü buluşur, 90 çarpı 4 yine 360. Düzgün altıgenle yaparsınız: üçü buluşur, 120 çarpı 3, yine tam tur. Sonra düzgün beşgeni denersiniz ve iş orada bozulur. Beşgenin iç açısı 108 derecedir; 360'ı 108'e böldüğünüzde 3 tam sayısı çıkmaz, 3'ün biraz üstü çıkar. Üç beşgeni bir köşede birleştirirseniz 36 derecelik ince bir dilim açıkta kalır. Dördüncüyü sokmaya kalkarsanız üst üste binerler. Beşgen zemini kaplamaz. Bunu ilk ciddi ciddi denemiş adamlardan biri Kepler'di; 1619'da yayımladığı geometri çalışmasında beşgenlerle bir örüntü kurmaya uğraştı, boşlukları başka şekillerle doldurmak zorunda kaldı ve sayfanın kenarında düzenin bir yerde tıkandığını itiraf etti.

Bu, bir dekorasyon meselesi gibi görünür. Değildir. Çünkü bir kristal, tam olarak budur: uzayı boşluksuz kaplayan bir kalıbın sonsuz tekrarı. Kristalografi biliminin bütün binası tek bir varsayımın üzerine kuruludur, periyodiklik. Bir birim hücre alırsınız, içinde birkaç atom vardır, sonra bu hücreyi üç yönde defalarca öteleyip yan yana dizersiniz. Tuz kristali de, elmas da, demir de böyledir. Ve bir yapı ötelemeyle kendini tekrar ediyorsa, o yapının hangi dönme simetrilerine sahip olabileceği artık sizin seçiminiz değildir. Geometri karar verir.

Kanıtı şaşırtıcı derecede kısadır. Diyelim ki kristalinizde bir dönme ekseni var ve yapıyı belli bir açı kadar çevirdiğinizde hiçbir şey değişmiyor. Örgüdeki en kısa iki komşu nokta arasındaki mesafeye bakın; buna birim adım diyelim. Şimdi ilk noktayı merkez alıp ikinciyi o açı kadar döndürün, sonra ikinci noktayı merkez alıp birinciyi ters yönde aynı açı kadar döndürün. Elinizde iki yeni nokta var ve simetri gerçekse bunların da örgüye ait olması gerekir. Yani aralarındaki mesafe, birim adımın tam katı olmak zorundadır. Hesabı yaptığınızda dönme 180 derecelik, 120 derecelik, 90 derecelik ya da 60 derecelik olduğunda sonuç düzgün çıkar. Beş katlı simetride, yani 72 derecelik dönmede, çıkan sayı 1,618'dir. Tam sayı değildir. Hiçbir zaman da olmayacaktır, çünkü irrasyoneldir. Örgü kendi kendisiyle çelişir.

O 1,618 sayısını aklınızın bir kenarında tutun. Bu hikâye onunla bitecek.

Sonuç şuydu: bir kristal 2, 3, 4 ve 6 katlı dönme simetrisine sahip olabilir. 5 olamaz. 7 olamaz. 8 olamaz. Buna kristalografik kısıtlama teoremi denir ve bir görüş, bir eğilim ya da gözlem özeti değildir; matematiksel bir teoremdir. Bir kere kanıtlanmıştır, tartışması yoktur.

Peki bir kristalin içine bakıp simetrisini nasıl ölçersiniz? Kırınımla. 1912'de von Laue bir kristalin üzerine X ışını düşürdüğünde arkadaki filmde bulanık bir leke değil, keskin, ayrı ayrı seçilebilen noktalar belirdi. Bunun nedeni şuydu: düzenli aralıklarla dizilmiş atomlardan saçılan dalgalar çoğu yönde birbirini söndürür, yalnızca belirli yönlerde tepe tepeye biner ve orada parlak bir nokta bırakır. Keskin noktalar, yani Bragg noktaları, düzenin imzasıydı. Ve o noktaların oluşturduğu desen, kristalin kendi simetrisini taşırdı. Dört katlı simetrili bir kristale baktığınızda ekranda dörtlü bir yıldız görürdünüz.

Böylece 20. yüzyılın ortasına gelindiğinde denklem kapanmıştı. Keskin kırınım noktaları periyodikliğin kanıtıydı. Periyodiklik beş katlı simetriyi yasaklıyordu. Dolayısıyla hiçbir malzeme, hiçbir koşulda, keskin noktalardan oluşan beş ya da on katlı simetrik bir kırınım deseni veremezdi. Bu bir tahmin değildi, bir imkânsızlık ilanıydı. Kırınım fotoğrafında eşit aralıklarla dizilmiş on parlak nokta görmek, üçgenin iç açıları toplamını 200 derece bulmakla aynı şeydi. Ölçüm değil, hata demekti.

Ve 8 Nisan 1982 sabahı, Maryland'de bir elektron mikroskobunun ekranında, tam olarak o şey belirdi.

Gaithersburg'daki Amerikan Ulusal Standartlar Bürosu'nun, bugün NIST adıyla bilinen kurumun bodrum katındaki mikroskop odasında çalışan adamın adı Dan Shechtman'dı. 41 yaşında, İsrail Teknoloji Enstitüsü Technion'dan gelen bir malzeme bilimciydi ve iki yıllık bir araştırma izniyle oradaydı. İşi havacılık için hafif alüminyum alaşımları geliştirmekti. Yöntem, hızlı katılaştırmaydı: erimiş metali dönen soğuk bir tekerleğin üzerine püskürtüyor, saniyede yaklaşık bir milyon derecelik bir hızla dondurup atomlara yerleşecek vakit bırakmıyordunuz. O gün baktığı numunenin defterindeki sırası 1725'ti; atomlarının yaklaşık yüzde 86'sı alüminyum, yüzde 14'ü manganezdi.

Elektron demetini numuneden geçirdi ve ekrandaki kırınım desenine baktı. Bir halka boyunca dizilmiş, keskin, parlak noktalar vardı. Saydı. On tane. Eşit aralıklı. Deseni bir kez çevirdiğinde tıpatıp aynı görüntü geri geliyordu; on kere.

Saydığı şeyin var olmaması gerekiyordu. Bir daha saydı. Numuneyi değiştirdi, aynı sonuç. Defterine o günkü kaydı düştü: "10 kat" yazdı ve yanına üç soru işareti koydu. Aynı sayfaya İbranice bir not düştü, kabaca "böyle bir hayvan yok" anlamına gelen bir deyimdi.

Sonraki günlerde asıl işi yaptı. Numuneyi mikroskobun içinde kademe kademe eğdi ve bulduğu bütün simetri eksenlerinin haritasını çıkardı. Ortaya çıkan tablo şuydu: 6 tane beş katlı eksen, 10 tane üç katlı eksen, 15 tane iki katlı eksen. Bu, herhangi bir rastgele karmaşa değildi. Bu, ikosahedronun, yani 20 eşkenar üçgenden oluşan Platonik cismin simetri parmak iziydi. Malzeme yalnızca yasak simetriyi göstermiyordu; onu kusursuz bir düzen içinde gösteriyordu.

İtirazın adı baştan belliydi: ikizlenme. Bazı kristaller büyürken iki ya da daha çok parçaya ayrılıp birbirine simetrik biçimde yapışır ve kırınımda sahte bir simetri üretir. Beş kristal parçası bir çiçek gibi dizilirse beş katlı görüntü verebilir. Shechtman bunu biliyordu ve tam da bu yüzden numunenin içini karanlık alan görüntülemesiyle taradı; ikizlenmiş bir yapıda mutlaka görülmesi gereken sınırları, o birleşme çizgilerini aradı. Bulamadı. Tanecikler tekti, içleri sürekliydi.

Anlattı, kimse dinlemedi. Grubunun kıdemli ismi, kendisi de metalurjinin en saygın kuramcılarından olan John Cahn, ilk tepkisinde konuyu kapattı: git buradan, bunlar ikiz, üstelik ilginç de değil. Grup yöneticisi ona temel bir kırınım ders kitabı uzatıp ikizlenme bölümünü okumasını söyledi. Israr edince çalıştığı ekipten ayrılması istendi; laboratuvarın uyumunu bozduğu söylendi.

1983'te Technion'a döndü ve orada onu ciddiye alan ilk kişiyi buldu: Ilan Blech. Blech, birbirine rastgele açılarla bağlanmış ikosahedronlardan oluşan bir yapı modeli kurdu ve bilgisayarda bu yapının nasıl bir kırınım vereceğini hesapladı. Sonuç Shechtman'ın fotoğrafına benziyordu. İkisi birlikte bir makale yazıp gönderdiler. Uygulamalı Fizik Dergisi, yani Journal of Applied Physics, makaleyi hakemlere bile göndermeden geri çevirdi; gerekçe, konunun derginin fizikçi okurlarını ilgilendirmeyeceğiydi.

Dönüm noktası 1984 yazında geldi. Shechtman reddedilen müsveddeyi Cahn'a gösterdi. Cahn iki yıl önceki adam değildi artık; veriye bakmış, ikizlenme açıklamasının tutmadığını görmüştü. Fransız kristalograf Denis Gratias'yı devreye soktu; Gratias bütün alternatif açıklamaları tek tek eledi. Dört imzalı makale, fiziğin en görünür dergilerinden Physical Review Letters'a, kısaca Fizik Mektupları'na gönderildi ve 12 Kasım 1984'te yayımlandı. Başlığı, iddianın kendisiydi: uzun menzilli yönelim düzeni olan, ama öteleme simetrisi olmayan bir metalik faz.

Makale yayımlandıktan sonraki haftalarda dünyanın dört bir yanındaki laboratuvarlar aynı alaşımı üretip aynı deseni gördü. Sonuç tekrarlanabilirdi. Ama tekrarlanabilir olması, kabul edildiği anlamına gelmedi. Karşı cephenin başında bilim tarihinin en ağır isimlerinden biri duruyordu: kimyasal bağ kuramının mimarı, iki Nobel ödüllü Linus Pauling. Pauling, yapının aslında dev birim hücreli, binden fazla atomlu, karmaşık biçimde ikizlenmiş sıradan bir kristal olduğunu savunan modeller yayımladı; modeli tutmayınca yenisini önerdi. Bir konferansta söylediği cümle bu tartışmanın simgesi hâline geldi: kuazikristal diye bir şey yok, kuazi-bilim insanları var.

Pauling'in tutumunu kötü niyete bağlamak haksızlık olur. Savunduğu şey kendi kaprisi değildi; 70 yıllık kristalografinin temel aksiyomuydu. Bir tarafta bir teorem, öbür tarafta bir fotoğraf vardı. Hiç kimse, o fotoğrafın teoremi çürütmediğini, teoremin sorduğu sorunun yanlış soru olduğunu henüz söylememişti.

Oysa cevap on yıldır ortada duruyordu. Yalnızca kimse iki masayı yan yana getirmemişti.

1974'te matematikçi Roger Penrose, kâğıt üzerinde bir oyunla uğraşıyordu: bir düzlemi hiç tekrar etmeden, ama tamamen kurallı biçimde kaplayabilir misiniz? Sonunda iki parçaya indirdi. Uçurtma ve ok diye anılan, ikisi de altın orandan türeyen açılara sahip iki dörtgen. Parçaların kenarlarına, hangisinin hangisiyle nasıl birleşebileceğini söyleyen eşleşme kuralları koydu. Bu kurallara uyarak döşediğinizde düzlem sonsuza kadar kaplanıyor, hiçbir boşluk kalmıyor ve desen hiçbir öteleme ile kendi üzerine oturmuyordu. Yani hiçbir yerde tekrar etmiyordu. Yine de rastgele değildi: hangi parçanın nereye geleceği tamamen belirliydi. Üstelik döşemedeki uçurtma sayısının ok sayısına oranı, sonsuza gittiğinizde tam olarak 1,618'e, altın orana yaklaşıyordu. Beş katlı simetriyi yasaklayan sayı, beş katlı simetriyi mümkün kılan desenin de merkezindeydi.

İkinci parça, 1982'de İngiliz kristalograf Alan Mackay'den geldi. Mackay, Penrose'un deseninin her köşe noktasına birer atom koyduğunuzda ne olacağını merak etti. Deseni saydam bir maskeye bastırdı, bir optik kırınım düzeneğinden geçirdi ve çıkan görüntüyü yayımladı: bulanık bir leke değil, keskin noktalardan oluşan on katlı simetrik bir desen. Yazısında bir de uyarı vardı; beş katlı simetrinin imkânsızlığına inanmayı sürdürürsek, karşımıza çıktığında onu görmezden gelebilirdik. Bu satırlar Shechtman'ın makalesinden önce basılmıştı ve neredeyse hiç fark edilmedi.

Üçüncü parçayı Dov Levine ile Paul Steinhardt taktı. Fizik Mektupları'nda, Shechtman'ın makalesinden yalnızca beş hafta sonra, 24 Aralık 1984'te bir yazı yayımladılar. Penrose döşemesinin üç boyutlu, ikosahedral karşılığını kurmuş ve bu yapının vereceği kırınım desenini hesaplamışlardı. Hesap, Shechtman'ın laboratuvarda çektiği fotoğrafla örtüşüyordu. Yeni madde sınıfına adını da onlar verdiler: quasicrystal, Türkçede kuazikristal.

Kilit kavram kuasiperiyodikliktir ve tek boyutta anlaşılması kolaydır. Bir çizgi üzerine iki farklı uzunlukta çubuk diziyorsunuz, uzun ve kısa, ama sıralarını Fibonacci kuralıyla belirliyorsunuz: her adımda diziyi bir öncekiyle birleştiriyorsunuz. Ortaya çıkan sıra hiçbir yerde kendini tekrar etmez. Ama rastgele de değildir; tek bir kuraldan çıkar, her adımı öngörülebilir ve uzunlukların oranı yine altın orana gider. İşte bu yüzden böyle bir yapıdan saçılan dalgalar birbirini söndürmez, belirli yönlerde üst üste binip keskin noktalar bırakır. Yanlış olan gözlem değildi; yanlış olan çıkarımdı. Keskin kırınım noktaları periyodikliğin kanıtı değildi. Uzun menzilli düzenin kanıtıydı. Periyodiklik ise bu düzenin yalnızca en tanıdık, en dar hâliydi. Bugün bu yapıları tarif etmenin en zarif yolu şudur: bir kuazikristal, altı boyutlu kusursuz periyodik bir örgünün, üç boyutlu uzayımıza eğik bir açıyla düşen kesitidir. Düzen bozulmamıştır; yalnızca gölgesine bakıyoruzdur.

Kristalografik kısıtlama teoremi çürütülmedi; bugün de doğrudur. Çürüyen şey, teoremin bütün katı maddeleri kapsadığı varsayımıydı. 1992'de Uluslararası Kristalografi Birliği kristalin tanımını değiştirdi. Yeni tanım periyodiklikten söz etmez; bir kristal, esas olarak keskin noktalardan oluşan bir kırınım deseni veren katıdır. Bir gözlem, bilimin en eski tanımlarından birini yeniden yazdırmıştı. 2011 Kimya Nobel Ödülü, kuazikristallerin keşfi gerekçesiyle, tek başına Dan Shechtman'a verildi.

Sonrası daha da tuhaflaştı. Bu maddelerin ancak laboratuvarda, aşırı hızlı soğutmayla yapılabilecek yapay şeyler olduğu düşünülüyordu. Luca Bindi ile Paul Steinhardt yıllarca doğal bir örnek aradı ve 2009'da Floransa'daki bir müze koleksiyonunda duran küçük bir mineral parçasında buldular: alüminyum, bakır ve demirden oluşan, ikosahedral simetrili gerçek bir kuazikristal. Ona ikosahedrit adı verildi. Parçanın izi 1979'da Sovyet jeologlarının Rusya'nın uzak doğusuna yaptığı bir araştırma gezisine kadar sürüldü; 2011'de Çukotka'daki Koryak Dağları'na düzenlenen bir sefer, dere yataklarını eleyerek aynı malzemeden milimetrik parçalar daha çıkardı. Kaynağı Hatırka göktaşıydı, karbonlu kondrit türünden ilkel bir göktaşı. Yani bu yapı, Güneş Sistemi'nin doğuşundan kalma, yaklaşık 4,5 milyar yıllık bir çarpışmanın basıncı ve ısısı altında, hiçbir insan eli değmeden oluşmuştu. Doğa, imkânsız denen simetriyi Dünya üzerinde ilk kristalografi kitabı yazılmadan milyarlarca yıl önce yapmıştı bile. Sonraki yıllarda ilk nükleer denemenin camlaştırdığı çöl kumunda bile kuazikristal bulundu.

Bugün bu maddeler bir merak nesnesi olmanın ötesine geçti. Metallerden yapıldıkları hâlde çoğu metal gibi davranmıyorlar: çok sert, çok kaygan, ısıyı ve elektriği kötü iletiyorlar. Çelik içine mikroskobik taneler hâlinde katıldıklarında malzemeyi sertleştiriyorlar; cerrahi iğnelerde, diş hekimliği aletlerinde ve jilet ağızlarında kullanılan alaşımlarda karşımıza çıkıyorlar. Aşınmaya dayanıklı ve sürtünmesi düşük kaplamalar, motorlarda ısı yalıtımı, atık ısıyı elektriğe çeviren termoelektrik malzemeler üzerine çalışmalar sürüyor. Yapıştırmaz tava kaplaması olarak denenip ticari ömrünü tamamlayanı bile oldu.

Bir de şu var: 2007'de Peter Lu ile Steinhardt, İslam mimarisindeki girih çinilerini inceleyip 1453 tarihli İsfahan'daki Darb-ı İmam türbesinin cephesindeki desenin, Penrose döşemesine çok yaklaşan kuasiperiyodik bir yapı taşıdığını gösterdi. Bunu ortaçağ ustalarının modern kuazikristal kuramını bildiği anlamına gelen bir iddia olarak okumamak gerekir; onların elinde matematiksel bir kuram değil, olağanüstü bir geometrik sezgi ve ustadan çırağa geçen bir çini takımı vardı. Ama bir zeminin, tekrar etmeden de kusursuz biçimde kaplanabileceğini insanların yüzyıllar önce sezmiş olması, hikâyenin en güzel dipnotudur.

Bu hikâyenin bıraktığı ders, otoriteye direnen yalnız kahraman klişesinden daha ince bir şey. Kimse veriyi görmezden gelmedi; herkes veriyi, elindeki tanımın içine sığdırmaya çalıştı. Sığmayınca da hatanın veride olduğunu varsaydı. Oysa hata tanımdaydı. Düzenin tek bir biçimi olduğunu sanıyorduk ve doğa, düzenli olmanın tekrar etmekle aynı şey olmadığını gösterdi.

O ihtimal, bir laboratuvar defterinin sayfasında, üç soru işaretinin arkasında iki yıl bekledi.

Nöron Bilim'de bugünkü bölümün sonuna geldik. Yeni bir hikâyede yeniden buluşmak üzere.